Fussy's Diary

Twitter でおもしろいツイートを見つけました。

Zeno’s Paradox: Understanding Convergent & Divergent Series http://t.co/9DnkuNG2HP

— LiveScience (@LiveScience) 2014, 5月 1

「ゼノンのパラドックス」は「アキレスとカメ」の話が特に有名です。前方にいるカメをアキレスが追いかけるとします。その間の距離が 100m 離れていて、アキレスの方がカメよりも 10 倍速ければ、最初にカメのいた地点にアキレスが到達した時カメは 10m 先にいます。さらに追いかけてその地点に到達した時、カメは 1m 先にいます。これを繰り返していくと、10cm、1cm、1mm と距離は 1 / 10 ずつ短くなるものの、いつまで経っても間の距離はゼロになりません。つまり、永遠に追い越すことができないというのが、ギリシャ時代のの哲学者ゼノンの主張したパラドックスです。初めてこれを知ったのは確か小学生の頃で、当時は不思議に感じた記憶があります。

数学的には、有限な数を無限に続く和の形で表すことができることを意味します。例えば、

1 = 1 / 2 + 1 / 4 + 1 / 8 + 1 / 16 + ... + 1 / 2ⁿ + ...

というような式が挙げられます。ようかんなんかを半分に切る操作を無限に繰り返す様子をイメージすれば納得できるかと思います。
似たような話として、例えば 1 を 3 で割ると、

1 / 3 = 0.333333 ...

と 3 が無限に続きます。これに 3 を掛けると

0.333333 ... x 3 = 0.999999 ...

です。しかし、これは 1 / 3 x 3 を計算していることでもあるので答えは 1 にもなります。従って、

0.999999 ... = 1

という結論になります。このあたりを考えだすと頭が痛くなってくるので、この辺でやめておきます。