Fussy's Diary

歯医者で検診がありました。結果、虫歯が一本。治療が必要ということで憂うつです。

2017 年名大入試文系の問題です。去年と同様、全体的に文系のほうが難しいと感じました。

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a を正の定数とする。2 次関数 f(x) = ax² と 3 次関数 g(x) x( x - 4 )² について、次の問に答えよ。
(1) 関数 y = g(x) について、極値を求め、そのグラフを描け。
(2) 2 つの曲線 y = f(x) と y = g(x) は相異なる 3 点で交わることを示せ。
(3) 2 つの曲線 y = f(x) と y = g(x) で囲まれた 2 つの部分の面積が等しくなるように a の値を定めよ。またそのとき、2 つの曲線の交点の x 座標を求めよ。

(1) g(x) = x( x - 4 )² より
g'(x) = ( x - 4 )² + 2x( x - 4 )
= ( x - 4 )( 3x - 4 )

なので、x = 4, 4/3 のとき極値になります。g(4) = 0, g(4/3) = 256/27 で増減表は

x		0		4/3		4
g(x)	-	0	+	256/27	+	0	-
g'(x)	+			0	-	0	+

なのでグラフは下図のようになります。



(2) f(x) = g(x) のとき、x( x - 4 )² = ax² より明らかに x = 0 を買いに持ちます。
x ≠ 0 のとき、両辺を x で割って ( x - 4 )² = ax より

x² - ( a + 8 )x + 16 = 0

の判別式 D を求めると

D = ( a + 8 )² - 64 = a² + 16a

となり、a は正の定数なので D > 0 より実数解は 2 つ存在します。従って、命題が成り立ちます。

(3) 2 つの解を r, s ( 但し r < s ) としたとき、

∫{0→s} x( x - 4 )² - ax² dx = 0

が成り立てばよいので、上式の左辺を計算すると

(左辺) = ∫{0→s} x³ - 8x² + 16x - ax² dx
= [ (1/4)x⁴ - (8/3)x³ + 8x² - (a/3)x³ ]{0→s}
= (1/4)s⁴ - (8/3)s³ + 8s² - (a/3)s³ = 0

となります。s ≠ 0 より左辺を s² / 12 で割って

3s² - ( 4a + 32 )s + 96 = 0

より a = (3/4)s + 24/s - 8 になります。r, s の値を計算すると

[ ( a + 8 ) ± ( a² + 16a )^1/2 ] / 2 で s は符号が + の方なので、

1/s = 2 / [ ( a + 8 ) ± ( a² + 16a )^1/2 ]
= [ ( a + 8 ) - ( a² + 16a )^1/2 ] / 32

より

a = (3/8)[ ( a + 8 ) + ( a² + 16a )^1/2 ] + (3/4)[ ( a + 8 ) - ( a² + 16a )^1/2 ] - 8
= (9/8)( a + 8 ) - (3/8)( a² + 16a )^1/2 - 8

となります。式を変形して

(1/8)a + 1 = (3/8)( a² + 16a )^1/2

より両辺に 8 を描けて 2 乗すると

( a + 8 )² = 9( a² + 16a )

式を整理して

a² + 16a - 8 = 0

となります。従って

a = -8 ± 6√2

で a > 0 より a = -8 + 6√2 となります。このとき、r, s は

{ [ ( -8 + 6√2 ) + 8 ] ± [ ( -8 + 6√2 )² + 16( -8 + 6√2 ) ]^1/2 } / 2
= ( 6√2 ± √8 ) / 2 = 2√2, 4√2

と求められます。