Fussy's Diary

あっという間の正月休み。明日から仕事です。

正月明けからはダラダラと毎日過ごしていたので、明日からちゃんと仕事できるか非常に心配です。心なしか、頭の方もあまり回っていないようなので、過去にストックしておいた中で軽めの問題を解いてみました。今回は「数学問題bot」からの出題です。

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■ a > b > c > d > e > f を満たし a + f = b + e = c + d = 22 となるような正の整数の組 ( a, b, c, d, e, f )はいくつあるか。(10数オリ予選)

6 つの数は正値でなので a の最大値は 21 でなければなりません。よって、b の最大値は 20、c の最大値は 19 です。また、c > d を満たす c の最小値は 12 です。よって、c は 12 から 19 までの値を取りえます。
a, b, c の値が決まれば d, e, f の値は自動的に決まり、a > b > c なら必ず d > e > f が成り立つので、a, b, c の組み合わせだけ考えれば十分です。c = 19 の時は a = 21, b = 20 の組み合わせしかありません。c = 18 のとき、( a, b ) の取りうる値は

( a, b ) = ( 21, 20 ) ( 21, 19 ) ( 20, 19 )

であり、c = 17 ならば

( a, b ) = ( 21, 20 ) ( 21, 19 ) ( 20, 19 ) ( 21, 18 ) ( 20, 18 ) ( 19, 18 )

です。よくみると、一つ前に求めた組み合わせは必ず含まれ、b = c + 1 のときの組み合わせが新たに追加されていることがこの結果からわかります。前に求めた組み合わせは、c が一つ小さくなっても必ず含まれることは明らかで、しかもそれは b > c + 1 の場合全てを含みます。従って、b = c + 1 のときの組み合わせの数を計算しさえすれば、前の結果を加算することで求める答えを得ることができます。その数は、a > b = c + 1 になる場合の数であり、21 - ( c + 1 ) です。c = 16 のとき、その数は 4 であり、実際に組み合わせを求めてみると

( a, b ) = ( 21, 20 ) ( 21, 19 ) ( 20, 19 ) ( 21, 18 ) ( 20, 18 ) ( 19, 18 ) ( 21, 17 ) ( 20, 17 ) ( 19, 17 ) ( 18, 17 )

で確かに一致します。よって、組み合わせの数は

1 + ( 1 + 2 ) + ( 3 + 3 ) + ( 6 + 4 ) + ( 10 + 5 ) + ( 15 + 6 ) + ( 21 + 7 ) + ( 28 + 8 )
= 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 28 + 36 = 120 通り

になります。

例によって、正解である保証はありません。